Multiplikation är mer än tabellerna

Elever är starkt låsta i att multiplikation är upprepad addition. Det behövs fler metoder än att träna tabellerna för att de ska fördjupa sina kunskaper, visar Kerstin Larssons avhandling.

Hon är, sedan hon undervisade på mellan­stadiet, intresserad av varför vissa elever verkar förstå allt utan större problem, medan andra får kämpa.

– Det var väldigt tydligt att det var så, särskilt i aritmetik.

Nyfikenheten på hur elever tänker tog hon med sig när hon började på Stockholms universitet. I sin forskning, där hon undersökt hur elever förstår multiplikation, följde hon 22 elever från årskurs 5 till årskurs 7.

– Multiplikation är viktigt och ligger till grund för i stort sett all matematik som kommer efter mellanstadiet, bland annat positionssystemet, bråk och funktioner.

Att kunna multiplikationstabellerna är naturligtvis viktigt i vardagen, men det räcker inte för att skapa ett djupare samband mellan olika matematikområden, poängterar Kerstin Larsson.

– Vi har av tradition, i både undervisning och i läromedel, separerat aritmetik och geometri. Det sambandet blir svårare att se när man har det i separata kapitel.

Det finns en historisk förklaring till att det, i skolan, är ett stort fokus på procedurer och att räkna rätt. Men kraven i läroplanen har höjts och elever ska även förstå räknesätten och kunna använda flera metoder.

– Det är inte konstigt att det tar tid för lärare att tänka om, men det är dags att göra något åt det.

Att förstå multiplikation innebär bland annat att se samband mellan till exempel multiplikation och area. Det handlar också om att ha både procedur- och begreppskunskap och att kunna se sambandet med verkligheten, förklarar hon.

– Multiplikation är inte bara något man gör på mattelektionen. Har du många samband kan du förstå på ett djupare sätt.

En del elever gör mycket komplicerade och långa beräkningar när de ska multiplicera, berättar Kerstin Larsson. Hon tar femteklassaren Erik som skulle räkna ut uppgiften 5 × 19 som exempel. Han räknade 19+19+19+19+19. Det var jobbigt, men han klarade av det och kom fram till rätt svar. Efteråt sa han att ”jag vet att jag kunde vända på det och ta 5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5. Det går nog fortare.”

– Det beror förmodligen på att 5-hopp är lättare än 19-hopp.

I årskurs 6 fick Erik uppgiften 19 × 42. Även nu gjorde han på samma sätt och skrev upp det första talet 42 gånger och gjorde en mycket komplicerad uppställning för att komma fram till summan.

– Han såg ingen annan utväg.

Erik hade en förståelse som gick ut på att man ska kunna multiplikationstabellen utantill. Samtidigt hade han en parallell förståelse när han skulle göra en multiplikationsberäkning där han gjorde en upprepad addition. Det fungerar så länge som talen är små, men blir betydligt svårare när han ska multiplicera stora tal eller tal i decimalform, konstaterar Kerstin Larsson.

I många klassrum, runt om i landet, finns en tradition att varje fredag göra tester på multiplikationstabellerna. Samma sak i Eriks klass, berättar hon.

– Varje gång visade han att han kunde tabellerna utantill. Men trots det kunde han inte använda dem i beräkningar. Min tolkning är att det är olika saker att kunna tabellerna och att göra beräkningar.

Synen på multiplikation som upprepad addition ledde också till att många elever hade svårt att se att den kommutativa lagen gäller. De kunde inte tänka att 4 × 17 är lika med 17 ×4.

Det gällde alla elever. Även fyra av dem som skrev A på nationella provet i årskurs 6, och i den bemärkelsen var duktiga i matte, var osäkra och tvekade om de kunde byta plats på faktorerna.

– Jag tror att en anledning är att de fått mycket undervisning som går ut på att multiplikation är upprepad addition av lika stora grupper. Det finns forskning som visar att det du lär dig från början sitter väldigt hårt.

Det är viktigt att erbjuda eleverna flera, olika modeller på vad multiplikation handlar om så att de kan jämföra dem och inte fastnar i en enda tanke om vad det är, anser Kerstin Larsson.

– Jag tror att elever behöver kunna koppla ihop multiplikation med vardagen runtomkring dem.

Ett sätt att synliggöra multiplikation är att arbeta med rektangelformationer. Det kan man till exempel göra genom att använda en äggkartong, föreslår hon.

– Då kan du se att det inte spelar någon roll om du vrider kartongen. Både 6 × 2 och 2 × 6 är 12 ägg. Det ger även en god grund för att senare förstå varför rektangelarea beräknas med multiplikation.

Arbeta också med olika multiplikativa jämförelser, föreslår hon.

– I svensk skola arbetar vi mycket med dubbelt och hälften, men sällan med tre gånger så mycket eller en tredjedel. Prata, förklara och diskutera på bekostnad av den tysta räkningen. Hur tänker du nu? Vad skulle hända om …?

Ett annat sätt att utveckla mer varierade resonemang är att låta elever fundera över felaktiga strategier eller metoder.

– När eleverna i min studie fick undersöka dem verkade det som om de kom längre mot att se samband.